CONTRACTION SUR LES CÔNES ET OBSERVATEURS NON-LINÉAIRES
Séance du 16 février 2012, Salle L 107, 14h, Paris.
Silvère BONNABEL, Maître-assistant, Centre de Robotique, Mathématiques et Systèmes, Mines-ParisTech.
Dans la première partie, on cherchera à construire des observateurs positifs (non-linéaires) pour des systèmes positifs définis sur des cônes - c'est-à-dire des observateurs qui garantissent qu'à tout instant l'état estimé appartient bien au cône. Notre méthode de construction s'appuie sur la métrique de Hilbert, et les propriétés de convergence seront analysées à la faveur des résultats de Birkhoff sur les applications positives contractantes. Ces résultats seront appliqués aux systèmes définis sur l'orthant positif. On peut penser par exemple à un bioréacteur où les variables d'état représentent des concentations ou des populations. Pour de tels systèmes, une estimation de concentration négative, par exemple, est dépourvue de sens physique, et le résultat d'estimation ne peut être interprété. Notre méthode permet alors de proposer des alternatives non-linéaires aux observateurs linéaires positifs déjà existants.
Dans la deuxième partie, on s'intéressera à la géométrie des filtres de Kalman de rang faible. Une propriété importante du filtre de Kalman est que le flot de Riccati associé est une contraction au sens de la métrique naturelle du cône des matrices définies positives. Les résultats de convergence connus du filtre de Kalman linéaire peuvent être vus comme une conséquence de cette propriété. On étudiera une version rang-faible du filtre de Kalman, développée par les océanographes pour diminuer la complexité numérique du filtre de Kalman en assimilation de données. Le flot de Riccati associé évolue alors sur la variété des matrices semi-définies positives de rang (faible) fixé, donc dans les faces du cône, sur lesquelles la métrique naturelle n'est pas définie. On montrera que Riccati rang faible admet des propriétés de contraction au sens d'une métrique introduite récemment, qui étend la métrique naturelle du cône à cette variété.
Silvère BONNABEL, Maître-assistant, Centre de Robotique, Mathématiques et Systèmes, Mines-ParisTech.
Dans la première partie, on cherchera à construire des observateurs positifs (non-linéaires) pour des systèmes positifs définis sur des cônes - c'est-à-dire des observateurs qui garantissent qu'à tout instant l'état estimé appartient bien au cône. Notre méthode de construction s'appuie sur la métrique de Hilbert, et les propriétés de convergence seront analysées à la faveur des résultats de Birkhoff sur les applications positives contractantes. Ces résultats seront appliqués aux systèmes définis sur l'orthant positif. On peut penser par exemple à un bioréacteur où les variables d'état représentent des concentations ou des populations. Pour de tels systèmes, une estimation de concentration négative, par exemple, est dépourvue de sens physique, et le résultat d'estimation ne peut être interprété. Notre méthode permet alors de proposer des alternatives non-linéaires aux observateurs linéaires positifs déjà existants.
Dans la deuxième partie, on s'intéressera à la géométrie des filtres de Kalman de rang faible. Une propriété importante du filtre de Kalman est que le flot de Riccati associé est une contraction au sens de la métrique naturelle du cône des matrices définies positives. Les résultats de convergence connus du filtre de Kalman linéaire peuvent être vus comme une conséquence de cette propriété. On étudiera une version rang-faible du filtre de Kalman, développée par les océanographes pour diminuer la complexité numérique du filtre de Kalman en assimilation de données. Le flot de Riccati associé évolue alors sur la variété des matrices semi-définies positives de rang (faible) fixé, donc dans les faces du cône, sur lesquelles la métrique naturelle n'est pas définie. On montrera que Riccati rang faible admet des propriétés de contraction au sens d'une métrique introduite récemment, qui étend la métrique naturelle du cône à cette variété.